Моделирование исторических процессов средствами фрактальной геометрии Доклад на кафедре исторической информатики МГУ (Ноябрь 2006 года. Д.С. Жуков, С.К. Лямин)

старницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, прил.

предыдущаяследующая

№ этой страницы Приложение

Математический аппарат «Менталофрактала»

Zn+1 = (Zn*Zn)A + С
(1)

Zn – тип среды-сознания; взаимодействие данного типа среды-сознания с аналогичным типом среды-сознания.

A – коэффициент аномальной диффузии городской социальной структуры.

С ( dc + kci),

dc – модернизирующее или традиционализирующее воздействие государства на среду.

kc – модернизирующее или традиционализирующее воздействие общественного сознания на индивидуальное.

Почему в формуле (1) в одних случаях речь идёт об умножении факторов, а в другом случае - о сложении? При умножении точка на комплексной плоскости изменяет местоположение в зависимости не только от значения воздействующего фактора, но и от своего исходного значения. При сложении все точки, к которым прибавляется параметр, изменяют своё местоположение на одинаковое расстояние в одном и том же направлении. Если признать, что разница между исходным положением точки и результатом воздействия параметра C зависит лишь от самого параметра и эта разница одинакова для разных точек, то речь идёт о сложении. Это соответствует качественному смыслу влияние общественного сознания и государства, так как под их воздействием все среды-сознания смещались в одном определённом направлении.

Параметр C задаёт направление и величину перемещения точки. Однако это перемещение должно быть симметрично относительно всех осей координат. В противном случае наличие значений в виде положительных и отрицательных чисел приводит к недопустимым результатам в соответствии с поставленными задачами. Если все точки будут передвигаться в одном направлении (например, снизу вверх и слева направо), то это приведёт к увеличению модуля dn и kn для положительных чисел и к уменьшению модуля dn и kn для отрицательных чисел, даже если речь идёт о модернизационном воздействии государства. Для того чтобы устранить этот эффект и добиться необходимой симметрии введём следующие правило.

Обозначим выражение (Zn*Zn)A через комплексное число F = df + kfi

При модернизационном воздействии государства:

Если df – отрицательное число, то и dc – отрицательное число.

Если df – положительное число, то и dc – положительное число.

При выполнении этих условий dc будет приводить к увеличению модуля действительной части исходного числа – и точка будет стремится в области М и О. Это и есть модернизация среды.

При традиционализирующем воздействие сознания:

Если kf– отрицательное число, то kc – положительное число.

Если kf– положительное число, то kc – отрицательное число.

При выполнении этих условий kc будет приводить к уменьшению модуля коэффициента мнимой части исходного числа и точка будет стремиться в области T и O . Это и есть традиционализация сознания.

При традиционализирующем воздействие государства:

Если df – отрицательное число, то dc– положительное число.

Если df – положительное число, то и dc – отрицательное число.

При модернизирующем воздействии общественного сознания

Если kf – отрицательное число, то kc – отрицательное число.

Если kf – положительное число, то kc – положительное число.

Таким образом, С – довольно «странный» параметр, поскольку модули его частей постоянны, а знаки могут меняться (в зависимости от того, каким является воздействие государства и общественного сознания: традиционализирующим или модернизирующим). Обратим внимание на специфику смысла значений С . Дело в том, что модернизационность и традиционность в С выражены знаками перед частями С , а модули выражают степень детерминированного знаками качества вне зависимости от того больше эти числа 1 или меньше.

Качественный смысл всех чисел за исключением С безотносителен к их знакам. Поэтому если мы берём положительные значения А , то необходимо иметь ввиду, что это столь же правомерно брать отрицательные значения А с тем же модулем. Мы можем брать в одних случаях отрицательное А , в других случаях положительное, но мы используем лишь положительное А (или лишь отрицательное А) лишь для удобства вычислений.

Определение значений параметров (факторов)

Параметр А

A – действительное число в интервале [0;2] . Все значения A>1 отражают модернизацию сред-сознаний в результате дестабилизации социальной структуры, а все значения A<1 выражают традиционализацию сред-сознаний. Соответственно, отсутствие мигрантов следует принять за А=1 ; 100% мигрантов-носителей традиционности в городском населении выражается как А=0 ; 100% мигрантов-носителей модернизированности выражается как А=2 .

Если в 1861 г . крестьяне составляли 22,1% населения Тамбова (7445 человек), то в 1897 г . эта цифра увеличилась до 49,7% (23873 человек). (Канищев В. В. Изменение сословного состава населения пореформенного Тамбова // 60 лет Тамбовской области. 200 лет Тамбовской губернии. Тамбов, 1997. С. 22.) Исходя из этих цифр, произведём сглаживание тенденции изменения численности крестьян и определим их долю в городском населении на 1872 год. Получим 30,5%. Переведём эти данные в вышеописанную шкалу. Получим А=0,695.

Параметр dc

Для измерения параметра dc в соответствии с условиями модели принята следующая шкала. Характер воздействия (традиционализирующий или модернизирующий) государства выражен знаками перед значением параметра. Сам модуль значения может колебаться в пределах от 0 до 2 . Модуль значения параметра выражает силу воздействия, а не направление (характер). Иначе говоря, если воздействие государства равно 0,2 , то это, при определённых условиях, говорит о незначительном модернизирующем воздействии, а не о сильном традиционализирующем давлении.

Таким образом, наша задача заключается в том, чтобы в общей массе дел канцелярии губернатора определить долю дел модернизационного характера и традиционализирующего характера. Воздействие государства могло быть разнонаправленным, но воздействия одного характера полностью или частично компенсировали воздействия другого характера. Поэтому разность между долями дел модернизирующих и традиционализирующих будет указывать на силу и направление суммарного воздействия государства на общество (на местном уровне). В результате подсчётов мы получили следующие данные – см. таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт значения индикатора «воздействия государства»

Общее число дел (а= b + c + r )	129	100%
Число дел нейтрального характера (b)	91	70,50 %
Число дел модернизационного характера (c)	27	21 %
Число дел традиционализирующего характера (r)	11	8,50 %
Сила модернизационного воздействия государства ((100(c-r))/a)		12,50%

Таким образом, модернизационное воздействие государства составило 12,5% от суммарного максимально возможного давления государства на общество. Если перевести эти данные в шкалу от 0 до 2 , то 100% следует приравнять к 2 (и то, и другое значения рассматриваются как максимально возможное воздействие). Следовательно, значение параметра «воздействие государства» равно 0,25 .

Параметр kc

Шкала для измерения рассматриваемого параметра определена точно таким же образом, как и для параметра «государственное воздействие».

Рассчитаем доли традиционных и модернизационных оценок и инспекций в их общем объёме. Затем вычислим разность долей, установив в какой степени разнонаправленные воздействия компенсируют друг друга. Общее число оценок и инспекций примем за 100% (или за 2 ), т.к. это число выражает максимально возможную силу воздействия общественного сознания по данному индикатору; и вычислим, таким образом, силу и направление суммарного воздействия исследуемого параметра. См. таблицу 2.

Таблица 2. Расчёт значения индикатора «воздействия общественного сознания».

Общее число оценок и инспекций (а= b + c + r )	156	100%
Число оценок и инспекций нейтрального характера (b)	48	30,8 %
Число оценок и инспекций модернизационного характера (c)	11	7 %
Число оценок и инспекций традиционализирующего характера (r)	97	62,2 %
Сила традиционализирующего воздействия общественного сознания ((100( r - c ))/a)		55,2 %

Таким образом, традиционализирующее воздействие общественного сознания составило 55,2% от суммарного максимально возможного воздействия общественного сознания на индивида. Если перевести эти данные в шкалу от 0 до 2 , значение исследуемого параметра равно 1,104 .

Определение предметной области

Индикаторы, которые можно выявить и измерить по документам местного самоуправления, корректно отражают уровень модернизированности как городской среды в целом, так и сознания горожан.

Подсчитав соотношения в рамках каждого индикатора модернизированных и традиционных его элементов (доходов, расходов, действий), мы можем установить численное соотношение модернизированных и традиционных элементов в рамках индикатора. Если принять за крайние значения шкалы соотношения 0% на 100% и, соответственно, 100% на 0% модернизационных и традиционных расходов, доходов и действий, то мы сможем рассчитать точное численное выражение уровня модернизированности по данному индикатору.

Шкала, которой мы пользуемся в соответствии с условиями модели, заключает значения от 0 до 2 . На этой шкале нам требуется в одной цифре выразить соотношение традиционных элементов индикатора и модернизированных. При этом проделывается операция аналогичная, например, подсчёту процентов, но не в шкале от 0 до 100% с шагом 1%, а в шкале от 0 до 2 с шагом 0,02 .

Таблица 3. Индикаторы уровня модернизированности менталитета (характеристика сознания) населения Тамбова по данным 1872 года.

№	Индикатор	Величина индикатора (по источнику)	Шкала: максимум традиционности (0)	Шкала: максимум модернизиро-ванности (2)	Величина индикатора (по шкале)
1	Соотношение количества дел традиционного и модернизированного характера, рассматренных Городской Думой (ГД)*	Всего - 97 дел; дел традиционного характера - 52; дел модернизированного характера - 45	0 % дел мод. характера (100 % трад. характера)	100% дел мод. характера (0% дел трад. характера)	0,928
2	Соотношение количества решений традиционного и модернизированного характера, принятых ГД*	Всего решений - 99; модернизированных решений - 65; традиционных решений - 34	0 % решений модернизированного характера	100% решений мод. характера	1,31
3	Соотношение количества обращений граждан в ГД традиционного и модернизированного характера	Всего обращений - 69; модернизированных обращений - 24; традиционных обращений - 45	0 % обращений модернизированного характера	100% обращений мод. характера	0,696
4	Соотношение числа случаев сложения и несложенния недоимок в объёме обсуждавшихся ГД фактов недоимок	Всего обсуждавшихся фактов недоимок - 15; случаев сложения недоимок - 4; случаев несложения - 11	100% обсуждавшихся недоимок сложены	100% обсуждавшихся недоимок не сложены	1,467
5	Соотношение числа случаев экстраординарных расходов ГД традиционного и модернизированного характера	Всего число случаев экстраординарных расходов - 8; случаев мод. расходов - 2; случаев трад. расходов - 6	100% случаев экстраорд. расходов носят трад. характер	100% случаев экстраорд. расходов мод. характера	0,5
6	Соотношение числа отказов ГД от экстраординарных расходов традиционного и модернизированного характера	Всего число отказов от экстраординарных расходов - 2; отказов от мод. расходов - 1; отказов от трад. расходов -1	100% отказных случаев имеют мод. характер	100% отказных случаев трад. характер	1
7	Соотношение числа общественных служащих, находящихся на своих постах и подавших прошение об увольнении по трад. мотивам.	Общее число общественных служащих - 15; остающихся на постах - 6; уволившихся по трад. мотивам - 8	100 % обществ. служащих уволились по трад. мотивам	100 % обществ. служащих остались на своих постах	0,8
8	Соотношение (в общем числе спорных дел ГД с губ. адм.-цией) дел, по которым поданы жалобы ГД в Сенат, с делами, оставленными на усмотрение губ. адм.	Общее число спорных дел ГД с губ. адм. - 14; число дел, по которым поданы жалобы ГД в Сенат, - 6; число дел, оставленных на усмотрение адм-ции - 8	100 % спорных дел оставлены ГД на усмотрение губ. адм.	по 100% спорных дел ГД жаловалась на губ. адм-цию в Сенат	0,857
9	Соотношение фактов возвращения и невозвращения в казну города общественных средств, полученных жителями незаконно, в общем числе обнаруженных сумм.	Все факты несанкционированного присвоенныя жителями общественных средств, обнаруженные ГД , - 4; факты возвращения средств - 1; факты невозвр. средств - 3	в 100 % случаев суммы не возвращены	в 100 % случаев суммы возвращены	0,5
10	Соотношение расходов городского бюджета, носящих модернизированный и традиционный характер*	Все городские расходы - 83414 руб.; гор., свойственные мод. обществу, - 59640 руб.; гор. расходы, свойственные трад. обществу, - 23774 руб.	100% расходов традиционного характера	100% расходов мод. характера	1,43
11	Соотношение в городском бюджете расходов на полицию и расходов на образование*	Общая сумма расходов на полицию и образование - 24098 руб.; расходы на полицию - 17198 руб.; расходы на образование - 6900 руб.	100% расходов на полицию	100% расходов на образование	0,573
12	Соотношение сумм по новым статьям расходов модернизированного и традиционного характера*	Общая сумма по вновь появившимся статьям - 3026 руб.; мод. расходов - 2006 руб.; трад. расходов – 1020 руб.	100% традиционных расходов по новым статьям	100% мод. расходов по новым статьям	1,326

Здесь и далее знаком «*» отмечены индикаторы, которые относятся к определению как характеристик сознания, так и характеристик среды.

Таблица 4. Индикаторы уровня модернизированности среды Тамбова по данным 1872 года.

№	Индикатор	Величина индикатора (по источнику)	Шкала: максимум традиционности (0)	Шкала: максимум модернизиро-ванности (2)	Величина индикатора (по шкале)
1	Соотношение количества дел трад. и мод. хар-ра, рассматренных ГД*	Всего - 97 дел; дел трад. хар-ра - 52; дел мод. хар-ра - 45	0 % дел мод. хар-ра (100 % трад. хар-ра)	100% дел мод. хар-ра (0% дел трад. хар-ра)	0,928
2	Соотношение количества решений трад. и мод. хар-ра, принятых ГД *	Всего решений - 99; мод. решений - 65; трад. решений - 34	0 % решений мод. хар-ра	100% решений мод. хар-ра	1,31
3	Соотношение сумм экстраорд. расходов ГД трад. и мод. хар-ра	Всего экстраорд. расходов - 2390 руб.; мод. расходов - 1800 руб.; трад. расходов - 590 руб.	100% сумм экстраорд. расходов носят трад. характер	100% сумм экстраорд. расходов носят мод. характер	1,506
4	Соотношение сумм отказов ГД от экстраорд. расходов трад. и мод. хар-ра	Всего отказов от экстраорд. расходов - 2550 руб.; отказов от мод. расходов - 1420 руб.; отказов от трад. расходов - 1130 руб.	100% отказных сумм имеют мод. характер	100% отказных сумм имеют трад. характер	0,886
5	Соотношение сумм, возвращённых и невозвращённых в казну города.	Общественные средства, несанкционированно присвоенные жителями, - 6170 руб.; возвр. суммы - 1300 р.; невозвр. суммы – 4870 р.	100 % сумм не возвращены	100 % сумм возвращены	0,421
6	Соотношение городских доходов от торгово-промышленной деятельности и доходов от сельского хозяйства	Все гор. доходы - 85504 руб.; городские доходы от торг.-пром. деятельности - 70431 руб.; гор. доходы от с/х. - 15073 руб.	100% доходов от сельского хозяйства	100% доходов от торгово-промышленной деятельности	1,647
7	Соотношение расходов городского бюджета, носящих мод. и трад. характер*	Все гор. расходы - 83414 руб.; мод. гор. расходы - 59640 руб.; трад. гор. расходы - 23774 руб.	100% расходов трад. хар-ра	100% расходов мод. хар-ра	1,43
8	Соотношение в городском бюджете расходов на полицию и расходов на образование*	Общая сумма расходов на полицию и образование - 24098 руб.; расходы на полицию - 17198 руб.; расходы на обр. - 6900 руб.	100% расходов на полицию	100% расходов на образование	0,573
9	Соотношение сумм по новым статям расходов мод. и трад. хар-ра*	Общая сумма по вновь появившимся статьям - 3026 руб.; расходов мод. хар-ра - 2006 руб.; расходов трад. хар-ра - 1020 руб.	100% трад. расходов по новым статьям	100% мод.расходов по новым статьям	1,326

После расчёта значений индикаторов мы получили ряд чисел; перед нами стоит задача на основе этого ряда определить искомые диапазоны значений для характеристики сознания и среды. Иначе говоря, мы должны определить предметную область исследования, установить в каких пределах лежали реальные для Тамбова 1872 года характеристики сознания и среды горожан. Мы предпочли воспользоваться одним из самых простых и эффективных статистических методов - определение среднего значения абсолютных значений отклонений точек данных от среднего. См. таблицу 5.

Таблица 5. Расчёт значений предметной области.

среднее арифметическое значений индикаторов модернизированности сознания	0,948916667
среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего (по оси "характеристика сознания")	0,298069444
минимальное значение предметной области (по оси "характеристика сознания")	0,650847222
максимальное значение предметной области (по оси "характеристика сознания")	1,246986111
среднее арифметическое значений индикаторов модернизированности среды	1,114111111
среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего (по оси "характеристика среды")	0,366320988
минимальное значение предметной области (по оси "характеристика среды")	0,747790123
максимальное значение предметной области (по оси "характеристика среды")	1,480432099

Литература

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы . Ижевск. 2001

Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки. СПб., 2001.

Жирков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. 1996. № 12. С. 109 – 117. (http://www.issep.rssi.ru/sej_str/ST206.htm Internet-версия журнала)

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002.

Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1999.

Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем . М. Мир. 1993.

Ричард М. Кроновер . Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории . М. Постмаркет. 2000.

Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

Шредер М . Фракталы. Хаос. Степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая . М., 2001.

Шабаршин А.А. Введение во фракталы (http://www.getinfo.ru/print182_0.html “GetInfo.Ru - Компьютерная библиотека”)

Frame, M.L. & Mandelbrot, B.B. Fractals, Graphics and Mathematical Education . Washington DC : Mathematical Association of America & Cambridge UK : The University Press, 2002. http://www.math.yale.edu/mandelbrot/webbooks/ - собрание электронных книг, размещённых на персональном сайте Б .  Мандельброта )

O ' Connor , J . J . & Robertson E . F . Benoit Mandelbrot // http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Mandelbrot.html (на сайте Школы математики и статистики университета св. Эндрюса, Шотландия).

 

 

старницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, прил.

предыдущаяследующая

Приносим извинение за плохое качество и большой размер флеш-графики, которая изначально предназначалась для широкоэкранных презентаций. Поэтому её с трудом удалось адаптировать для Web.

 

 

 

дружественные сайты